编者按

纵观近几年的河南省中考题，填空压轴题（第15题）均以折叠为背景出现。此类题目涉及知识点多，综合性强，大部分情况下还需分类讨论。同学们在本题上得分率较低，反思其原因，无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一。本文尝试以几道河南省中考原题为例，探索如何准确画出所需图形，进而准确解题。

折叠的本质其实就是轴对称，所以要想正确理解题意首先要熟练掌握轴对称的性质。

轴对称的性质：

①轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形。

②轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等。

③如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

⑤两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，交点一定在对称轴上。

例1、（河南2013.第15题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处.当△CEB'是直角三角形时，BE的长是.

分析：审题可得，题中有两个动点，点E和点B'.而点B'的运动完全是由点E的运动引发的，所以把点E看作主动点，点B'看做从动点.当题中有动点的时候，养成思考动点轨迹的意识是很重要的.那么本题中两个动点的轨迹分别是什么呢？先来看主动点点E的轨迹，由题可知，点E在线段BC上运动，所以点E的轨迹就是线段BC.再来看点B;的轨迹，由轴对称的性质可知AB=AB'，点A是定点，点B'是动点，根据圆的定义“到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”可知，点B'在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上运动，那么点B'的轨迹是整圆吗？因为点E是线段BC上一点，所以点B'的轨迹只能是圆上的一部分.当点E和点B重合时，点B'落在点B的位置，当点E和点C重合时，以AE为一边，在∠BAE的另一侧作∠B'AE=∠BAE，和圆的交点即为点B'.

再来看点B'的确定位置，题中给出△CEB'是直角三角形，但并没有说明哪个角是直角，所以需要分类讨论.（1）当∠CB'E=90°时.又因为∠AB'E=∠ABE=90°，所以∠AB'C=180°，即点A、B'、C三点共线，对角线和弧的交点即为点B'的位置；如图4：

（2）当∠CEB'=90°时，则∠BEB'=∠ABE=∠AB'E=90°，可得∠BAB'=90°.此时AD边和弧的交点即为点B'的位置.如图5：

（3）若∠CB'E=90°时，点B'将落在CD上，这是不可能的.所以∠CB'E=90°这种情况不存在.

解：（1）当∠EB'C=90°时，如图6所示：

因为∠AB'E=90°，所以点A，B'，C三点共线.由折叠可知，AB=AB'=3.所以B'C=5-3=2.设BE=B'E=x，则EC=4-x.在Rt△EB'C中，B'E^2+B'C^2=CE^2，即x^2+2^2=(4-x)^2，解得，x=3/2.

（2）当∠CEB'=90°时，如图7所示：

易知四边形ABEB'是矩形，又因为AB=AB'，所以是正方形，则BE=AB=3.

综上所述，BE=3/2或BE=3.

反思：（1）题中只给出了△EB'C是直角三角形，而没有说明哪个角是直角，所以需要分类讨论。再分类的过程注意排除不符合题意的的情况；

（2）动点问题中要养成判断动点轨迹的意识，初中阶段常见的动点轨迹大多是直线型和弧；

（3）和折叠有关的动点问题中，经常会用到辅助圆，养成图中无圆，心中有圆，对准确确定点的位置进而正确解题大有帮助.

例2、（河南2014.第15题）矩形ABCD中，AB=7，AD=5.点E是边CD上一个动点，将△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为.

分析：由折叠的性质：对应线段相等可得，AD=AD'，所以点D'在以点A为圆心，AD的长为半径的圆上.又因为点D'落在∠ABC的角平分线上，所以角平分线与弧的交点即为点D'的位置.

简解一：如图：

过点D'作D'M⊥AB，垂足为点M，交CD与点N.∵BD'平分∠ABC，∴∠ABD'=45°.已知△MBD'是等腰直角三角形，BM=MD'.设BM=MD'=x，则AM=7-x.在Rt△AMD'中，AM^2+MD'^2=AD'^2，即（7-x）^2+x^2=5^2，解得x=3或4.

当MD'=3时，D'N=5-3=2.因为∠AMD'=∠AD'E=∠D'NE=90°，由一线三等角易得△AMD'∽△D'NE.∴AM:MD'=D'N:NE，可得NE=3/2.所以DE=4-3/2=5/2.当MD'=4时，易得DE=5/3.

简解二：如图建立直角坐标系：

由题可知，∠ABD'=45°，所以AB=AF=7，易得BF所在直线的解析式为：y=-x+7

因为点D'在线段BF上，所以设点D'的坐标为（x，-x+7）,则x^2+(-x+7)^2=5^2，解得x=3或x=4，当x=3时，D'（3,4），所以直线AD'的解析式为y=4/3x，又因为直线D'E⊥AD'，所以设直线D'E的解析式为y=-3/4x+b.将点D'(3，4)代入求得y=-3/4x+25/4.再将y=5带入解析式，得x=5/3，所以DE=5/3.

当x=4时，利用上述方法解得DE=5/2.

反思：（1）本题在画图的过程中，角平分线和辅助圆的位置关系很难直观看出来，这就需要用圆心到直线的距离和半径进行比较，从而判断出直线和圆是相交，所以点的位置有两个；

（2）在解决和直角相关的问题中，构造一线三直角（K形图）是常用方法；

（3）本题的方法二用到了解析法，当图形是正方形，等腰直角三角形，等边三角形，矩形等便于建立直角坐标系时，可考虑这一方法，往往可以避开复杂的证明，但有时计算量稍大.

【每日一题】几何综合探究型题（七）